美国计算机博士难吗？
我来说一下我的情况，也许能对题主有所帮助。 我在西北大学读的CS Ph.D.，导师是那个项目的主任（其实就是管项目的大老板）。他是当时NSA(National Security Agency)的总工程师。因为当时处于冷战时期，美国的所有大学和学院里都有国防部和中央情报局的人，他们的目的是收集苏联和美国其他大学的科研情报。因此几乎所有的科研项目都受到严格的保密审查。这个审查的严格程度超乎你的想象——甚至包括你每天去图书馆浏览的杂志文章也要记录在案。
我读Ph.D.的那几年正是互联网行业刚刚开始的时候，Yahoo！和Google都没有成立，而Amazon还只是一个仓库。因此互联网相关的研究是一个热门领域。我有一个同学就是因为做搜索的相关研究而被CIA招募了。他最后虽然没有去做间谍，但在毕业后进入谷歌的研究部门工作却是轻而易举。
回到问题本身。以我对同事的了解，我觉得博士阶段最难的是找到好的导师。一个优秀的导师会帮助你制定合理的学习计划，并且在研究上给你正确的指导。更重要的是他们会教给你如何做一个研究员/工程师应有的态度——这是比任何技术或方法都要宝贵的经验。
至于你说到的数学，计算机等必修课程，只要你花一点时间就能学好。其实最难的不是学知识，而是把新知识和已有的知识结合并应用到实际中。 祝你们好运！